Вычисление обратного веса и средних квадратических ошибок уравненных элементов геодезической сети

Вычисление обратного веса уравненных элементов

На стадии проектирования геодезической сети, когда еще не выполнены измерения, но веса измеряемых величин уже установлены, задачу определения обратного веса оцениваемых элементов решают следующим образом. Графический проект геодезической сети наносят на топографическую карту достаточно крупного масштаба, на которой показывают исходные и определяемые пункты, а также все измеряемые величины: горизонтальные направления N, азимуты сторон а и длины сторон s(базисные и рядовые). По карте определяют приближенные координаты х, у (в м) всех пунктов сети (исходных и определяемых) и составляют каталог приближенных координат пунктов.

Обратный вес уравненных элементов сети вычисляют, используя алгоритм параметрического способа уравнивания геодезических сетей на плоскости. Для этого составляют сначала для всех измеряемых величин соответствующие уравнения поправок, которые имеют следующий вид:

для измеряемых направлений

                                                 (5.13)             

для измеряемых азимутов

                                                         (5.14)    

для измеряемых расстояний

                                                       (5.15)                     

где i, k— номера пунктов;   — поправка в ориентирующий угол на  i-ом пункте;   — поправки в приближенные абсциссы и ординаты определяемых пунктов, дм;

а, b, с, d— коэффициенты, вычисляемые по приближенным координатам пунктов;

  — свободные члены уравнений поправок.

Для определения обратных весов уравненных элементов свободные члены уравнений поправок не требуются.

Коэффициенты при поправках 6z; равны (—1); коэффициенты а, Ь, с, dвычисляются по формулам, которые для вычислений на ЭВМ преобразуют к виду

 

                  

                                                  (5.16)

 

      

   

                                                                (5.17)

где приращения координат Δxik = xkхiи Δyik = ykхiи длины сторон sik выражены в метрах; р=206265".

Для того чтобы уменьшить объем вычислительных работ, составляют так называемые редуцированные нормальные уравнения, в которых поправки δzi к ориентирующим углам на станциях исключены. С этой целью на каждом пункте уравнения (5.13) записывают без поправки δziприняв р=1, затем составляют суммарное уравнение, равное сумме таких уравнений на пункте весом р= —1/n, где п — число направлений на пункте.

К уравнениям поправок направлений, включая суммарное, составленным на всех пунктах, на которых будут выполняться угловые измерения, присоединяют уравнения поправок (5.14) для измеряемых азимутов и уравнения поправок (5.15) для измеряемых расстояний. Используя все эти уравнения, составляют общую для сети матрицу А коэффициентов уравнений поправок. Затем составляют соответствующую этим уравнениям диагональную матрицу Р весов уравнений поправок и по известным правилам метода наименьших квадратов переходят к матрице JV коэффициентов нормальных уравнений

N = ATPA,                                                                           (5.18)

где Aт — транспонированная матрица.

На ЭВМ находят обратную матрицу весовых коэффициентов

 N-1=Q=

 

 

где т — число   поправок  координат  ξ, h , равное  удвоенному числу определяемых пунктов.

Если матрица Qвесовых коэффициентов определена, нетрудно .вычислить обратный вес любого уравненного элемента геодезической сети. Обратные веса абсцисс xiи ординат уiопределяемых пунктов с номерами iравны диагональным элементам матрицы Qпри соответствующих поправках координат  ξi, hi, т. е.

                                                                                                     (5.20)

Обратный вес дирекционного угла а и длины стороны s, соединяющей любые пункты iи kгеодезической сети как смежные, так и удаленные друг от друга на значительное число треугольников, вычисляют по формуле

                                                                                                                (5.21)

где f— вектор-столбец коэффициентов весовой функции F, а fт— транспонированный вектор-строка; Qi-k— элементы весовой матрицы Q, относящиеся к поправкам координат данных пунктов Iи k.

Весовые функции Faдирекционного угла и Fsдлины стороны, соединяющей пункты iи k, записывают в виде уравнений поправок (15.14) и (15.15) соответственно, но без свободных членов:

 

                                                                                               (5.22)

                                                                                              (5.23)

где коэффициенты a, b, c, dвычисляют по формулам  (5.16) и (5.17),   используя   приближенные   координаты   пунктов.

Для весовых функций Faи Fsвекторы ffaи f = fsимеют вид

                                                                                   (5.24)

 

 

Матрица Qi-kформируется из элементов общей для сети матрицы Qвесовых коэффициентов и для избранных пунктов iи kможет быть записана в виде:

        Qik                                                                 (5.25)

 

 

где Xi, yi, Xk, yk— координаты пунктов iи k, в которые из уравнивания сети определяются поправки

Если в выражениях (5.22) или (5.23) координаты одного из пунктов, например пункта i, являются исходными, то поправки не определяют и принимают равными нулю . В этом случае выражения (5.22) — (5.25) существенно упрощаются.

Вычисление средних квадратических ошибок уравненных элементов

Используя заданное значение ошибки единицы веса  mи вычислив обратные веса  1/Pf уравненных элементов, найдем по формуле (5.1) расчетные значения средних квадратических ошибок элементов проектируемой геодезической сети:

абсцисс и ординат пунктов

    ;                                                               (5.26)

 

дирекционных углов сторон и диагоналей

                                                                                                               (5.27)

длин сторон и диагоналей

                                                                                                                        (5.28)

Примеры оценки точности уравненных элементов с вычислением на ЭВМ матрицы Qвесовых коэффициентов для сетей триангуляции, трилатерации и линейно-угловых даны в практикуме по высшей геодезии. В том случае, если ошибки исходных данных известны, их влияние необходимо учесть дополнительно.