Оценка точности рядов и сетей трилатерации по приблеженным формулам

Средние квадратические ошибки вычисленных углов треугольников

Пусть дан треугольник ABCс измеренными в нем сторонами а, b, с, лежащими против углов А, В и С (рис. 40). Для любой стороны, например, для стороны а в соответствии с теоремой косинуса угла напишем

                    а2 = b2 + с2 — 2bc cosA.                                                        (5.44)

Продифференцировав левую и правую части этого выражения по всем переменным и выполнив несложные преобразования, получим

                           dA=                                              (5.45)

 

 где hA— высота треугольника, опущенная из вершины угла А на противолежащую сторону а; вычисляется она по любой из формул

 

 

                              hA = csinB = bsinC=  sin A.                                         (5.46)

Перейдя в выражении (5.45) от дифференциалов к средним квадратическим ошибкам, получим

 

                                                                     (5.47)

Формула (5.47) устанавливает зависимость ошибки тА вычисленного угла А от ошибок измерения сторон треугольника та, тъ, тс и от формы треугольника (величины углов А, В и С).

Опустив из вершин углов В я С треугольника ABCвысоты hBи hcна противолежащие стороны bи с, а затем выполнив такие же преобразования, как и при выводе формулы   (5.47), получим   аналогичные  формулы  для  средних  квадратических ошибок углов В и С.

 

                                                               (5.48)

                           

               Рис. 40. Треугольник с измеренными сторонами

 

В  равностороннем  треугольнике a = b = cscosA= cosВ = = cos С = 0,50;        hA = hB = hc = ssin 60° = s. Поэтому при одинаковой точности измерения длин сторон, т. е. при та = ть = тсS, средняя квадратическая ошибка mb  любого угла (b=A; В; С), вычисленного с использованием измеренных сторон в треугольнике, будет равна

                                                                                                                  (5.49)

Для того чтобы в равносторонних треугольниках трилатерации вычисленные углы bопределялись с требуемой ошибкой mbнеобходимо, чтобы стороны измерялись с ошибками не более

                                                                                                      (5.50)

где     -        - средняя квадратическая ошибка измерения

Продольный и поперечный сдвиг звена трилатерации

Пусть дано звено трилатерации из равносторонних треугольников с измеренными на его концах азимутами А1 и А2- Уравняв звено за условие азимутов, найдем по формулам С. А. Бутлера:

продольный сдвиг звена

                                                     (5.51)

поперечный сдвиг звена

                      (5.52)

где L— длина диагонали звена; N — число треугольников в звене; тА, ms— средние квадратические ошибки измерения азимутов и длин сторон.

При 1=200 км, N = 16, s = 25 км, mА=1,0" и ms/s= 1/300 000 или ms=0,083 м получим mL,=0,17 м и mq=1,18 м. Тогда

                                 M =  м

Сплошные сети трилатерации из равносторонних треугольников

Будем полагать, что сплошная сеть трилатерации 2 класса размером 200X200 км уравнена за условия азимутов и центральных систем как свободная. Для вычисления средних квадрати-ческих ошибок уравненных элементов (без учета ошибок азимутов) воспользуемся формулами К. Л. Проворова.

Средние квадратические ошибки относительного положения смежных пунктов:

продольный сдвиг конца стороны

            mt= 0,83ms;                                                                                 (5.53)

поперечный сдвиг конца стороны

              mr=l,20mS;                                                                                  (5.54)

полный сдвиг конца стороны

                  U=                                                                                             (5.55)

При  s = 7-20   км,  ms/s= 1/300000  получим   mt = 2-6   см; тг = 3-8 см; U=4-10 см.

Средние квадратические ошибки относительного положения несмежных пунктов:

продольный сдвиг конца диагонали

                                                                            (5.56)

 

полный сдвиг конца диагонали

 

                                                                      (5.57)

 

где L— длина диагонали, соединяющей несмежные пункты, отстоящие друг от друга на kтреугольников; N— среднее число треугольников между азимутами Лапласа (k£N); ms— средняя квадратическая ошибка измерения сторон. В сплошной сети трилатерации при L=180 км, s=15 км, N = k = 24, ms/s = 1/300 000 или ms = 0,05 м получим ть = 0,08 м, /ng=0,46 м, М = = 0,47 м. Этот расчет показывает, что в сплошных сетях трилатерации поперечный сдвиг конца любой диагонали относительно ее начала в среднем в шесть раз больше продольного. В сплошной сети триангуляции эти сдвиги равны между собой.