Оценка точности рядов и сетей трилатерации по приблеженным формулам
Средние квадратические ошибки вычисленных углов треугольников
Пусть дан треугольник ABCс измеренными в нем сторонами а, b, с, лежащими против углов А, В и С (рис. 40). Для любой стороны, например, для стороны а в соответствии с теоремой косинуса угла напишем
а2 = b2 + с2 — 2bc cosA. (5.44)
Продифференцировав левую и правую части этого выражения по всем переменным и выполнив несложные преобразования, получим
dA= (5.45)
где hA— высота треугольника, опущенная из вершины угла А на противолежащую сторону а; вычисляется она по любой из формул
hA = csinB = bsinC= sin A. (5.46)
Перейдя в выражении (5.45) от дифференциалов к средним квадратическим ошибкам, получим
(5.47)
Формула (5.47) устанавливает зависимость ошибки тА вычисленного угла А от ошибок измерения сторон треугольника та, тъ, тс и от формы треугольника (величины углов А, В и С).
Опустив из вершин углов В я С треугольника ABCвысоты hBи hcна противолежащие стороны bи с, а затем выполнив такие же преобразования, как и при выводе формулы (5.47), получим аналогичные формулы для средних квадратических ошибок углов В и С.
(5.48)
Рис. 40. Треугольник с измеренными сторонами
В равностороннем треугольнике a = b = c — s, cosA= cosВ = = cos С = 0,50; hA = hB = hc = ssin 60° = s. Поэтому при одинаковой точности измерения длин сторон, т. е. при та = ть = тс=тS, средняя квадратическая ошибка mb любого угла (b=A; В; С), вычисленного с использованием измеренных сторон в треугольнике, будет равна
(5.49)
Для того чтобы в равносторонних треугольниках трилатерации вычисленные углы bопределялись с требуемой ошибкой mbнеобходимо, чтобы стороны измерялись с ошибками не более
(5.50)
где - - средняя квадратическая ошибка измерения
Продольный и поперечный сдвиг звена трилатерации
Пусть дано звено трилатерации из равносторонних треугольников с измеренными на его концах азимутами А1 и А2- Уравняв звено за условие азимутов, найдем по формулам С. А. Бутлера:
продольный сдвиг звена
(5.51)
поперечный сдвиг звена
(5.52)
где L— длина диагонали звена; N — число треугольников в звене; тА, ms— средние квадратические ошибки измерения азимутов и длин сторон.
При 1=200 км, N = 16, s = 25 км, mА=1,0" и ms/s= 1/300 000 или ms=0,083 м получим mL,=0,17 м и mq=1,18 м. Тогда
M = м
Сплошные сети трилатерации из равносторонних треугольников
Будем полагать, что сплошная сеть трилатерации 2 класса размером 200X200 км уравнена за условия азимутов и центральных систем как свободная. Для вычисления средних квадрати-ческих ошибок уравненных элементов (без учета ошибок азимутов) воспользуемся формулами К. Л. Проворова.
Средние квадратические ошибки относительного положения смежных пунктов:
продольный сдвиг конца стороны
mt= 0,83ms; (5.53)
поперечный сдвиг конца стороны
mr=l,20mS; (5.54)
полный сдвиг конца стороны
U= (5.55)
При s = 7-20 км, ms/s= 1/300000 получим mt = 2-6 см; тг = 3-8 см; U=4-10 см.
Средние квадратические ошибки относительного положения несмежных пунктов:
продольный сдвиг конца диагонали
(5.56)
полный сдвиг конца диагонали
(5.57)
где L— длина диагонали, соединяющей несмежные пункты, отстоящие друг от друга на kтреугольников; N— среднее число треугольников между азимутами Лапласа (k£N); ms— средняя квадратическая ошибка измерения сторон. В сплошной сети трилатерации при L=180 км, s=15 км, N = k = 24, ms/s = 1/300 000 или ms = 0,05 м получим ть = 0,08 м, /ng=0,46 м, М = = 0,47 м. Этот расчет показывает, что в сплошных сетях трилатерации поперечный сдвиг конца любой диагонали относительно ее начала в среднем в шесть раз больше продольного. В сплошной сети триангуляции эти сдвиги равны между собой.