Сила тяжести и уровенные поверхности земли

При построении государственных геодезических сетей высокой точности выполняют угловые и линейные измерения, определяют астрономические широты, долготы и азимуты, измеряют силу тяжести и превышения между пунктами, ведут наблюдения искусственных спутников Земли и т. п. При производстве высокоточных астрономо-геодезических измерений всякий раз тщательно совмещают вертикальную ось измерительного прибора с отвесной линией в точке его установки. Направление отвесной линии в каждой точке пространства совпадает с направлением действия силы тяжести. Сила тяжести является равнодействующей двух основных сил: силы земного притяжения Fи центробежной силы Р, возникающей вследствие суточного вращения материальной точки вокруг оси вращения Земли.

Рис. 1. Сила тяжести и ее составляющие

 

и  согласно  закону  всемирного  тяготения  будет  определяться по формуле

                                 (1.2)

где f— универсальная гравитационная постоянная; М—масса Земли; т — масса материальной точки; R— радиус земного шара. Для реальной Земли сила притяжения Fне равна значению, вычисленному по формуле (1.2), и направлена не к центру масс Земли. Центробежная сила Р направлена вдоль радиуса параллели, на которой находится материальная точка, и определяется по формуле

P=mrω2                                       (1.3)

где т — масса материальной точки; r— радиус параллели;  — угловая скорость вращения Земли.

Наибольшей величины центробежная сила достигает на экваторе: Р — та, где а — большая полуось Земли, а наименьшей— на полюсах Земли: Р = 0, так как г = 0. На экваторе сила Р в 288 раз меньше силы F, но еще велика и ощутимо влияет на значение силы тяжести g.

Силы Fи Р имеют противоположные знаки. Сила Р при переходе от экватора к полюсам Земли уменьшается. Поэтому сила тяжести gизменяется по широте и достигает наибольшей величины на полюсах, а наименьшей — на экваторе Земли.

За единицу ускорения силы тяжести в Международной системе единиц СИ принята величина 1 м-с2. В гравиметрии широко применяется единица, называемая галом (1 Гал=1 см с2 = 0,01 м×с2. Обычно вместо выражения «ускорение силы тяжести» допускается употреблять выражение «сила тяжести».

В гравиметрии при измерении величин, характеризующих гравитационное поле Земли, для описания поля силы тяжести используют скалярную функцию — потенциал. Потенциал вектора — это такая функция координат, частные производные которой по прямоугольным координатам равны проекциям вектора на соответствующие координатные оси.

Потенциал силы тяжести Wравен сумме потенциала Vсилы притяжения Fи потенциала Qцентробежной силы Р, т. е.

W=V+Q                                                        (1.4)

Производная от потенциала силы тяжести Wпо любому направлению s в точке равна проекции этой силы на данное направление, т. е.

                                    (1.5)

где g— значение силы тяжести в точке; (g, s)—угол между направлением действия силы тяжести и направлением s, по которому перемещается единичная масса.

Рассмотрим два частных случая формулы (1.5). Предположим сначала, что материальная точка А перемещается под прямым углом к вектору силы тяжести g. В этом случае угол (g, sравен 90°  (рис. 2,a), cos(g, s)=0 и поэтому

    или      dW = 0.(1.6)

Проинтегрировав выражение (1.6), получим уравнение семейства поверхностей

W = C = const.(1.7)

Поверхность, во всех точках которой потенциал силы тяжести имеет одно и то же значение (W = const), называется уро-венной поверхностью Земли.

Принимая различные значения постоянной С в выражении (1.7), получим соответствующие уровенные поверхности (рис.3). Через каждую точку пространства проходит только одна уровенная поверхность. В каждой точке уровенной поверхности вектор силы тяжести направлен по нормали к ней. Уровенные поверхности являются поверхностями равновесия, так как составляющая силы тяжести по касательной к уровенной поверхности в любой ее точке равна нулю. Следует отметить, что поверхность воды в спокойном состоянии, находящаяся под действием только силы тяжести, совпадает с одной из уровенных поверхностей. Кривая, пересекающая уровенные поверхности №ь W2,…  под прямыми углами, называется силовой линией гравитационного поля Земли. Касательные во всех точках силовой линии совпадают с направлением действия силы тяжести и перпендикулярны к уровенным поверхностям.

Рассмотрим второй частный случай формулы (1.5). Пусть материальная точка А с одной уровенной поверхности Wпереместится по направлению вектора силы тяжести gна другую поверхность Wt = W + dW, находящуюся на бесконечно малом расстоянии ds = dh(см. рис. 2,6). В этом случае угол (g, s) равен нулю; cos(g, s) = 1 и поэтому уравнение (1.5) примет вид

  или  dW=gdh(1.8)

      Рис. 2. Схемы перемещения материальной точки перпендикулярно    к вектору силы тяжести (а) и вдоль него (б)

 

  Рис. 3. Уровенные поверхности Земли (/) и силовые линии гравитационного поля  (2)

 

 

 

Из выражения (1.8) следует, что дифференциал dhрасстояния между двумя бесконечно близкими уровенными поверхностями Wи WxW + dWравен величине

dh=                                       (1.9)

Анализируя формулу (1.9) и рис. 3, можно сделать следующие общие выводы:

1.   Уровенные  поверхности  Земли   нигде  не  соприкасаются между собой и не пересекаются.

2.   Уровенные   поверхности   Земли   не   параллельны   между собой:  на  полюсе они сближаются,  а  на  экваторе,  наоборот, удаляются одна от другой.

3.  Уровенные поверхности Земли имеют волнообразный вид из-за  наличия  внутри  Земли   аномальных  по  плотности  масс.