Оценка точности триангуляции

К настоящему времени получено множество разных по форме и точности приближенных формул априорной оценки точности различных элементов геодезических сетей, создаваемых разными методами. Большинство из этих формул относится к схематическим геодезическим построениям, состоящим, например, из равносторонних треугольников, вытянутых ходов с одинаковыми длинами сторон и т. п. Тем не менее, как отмечалось выше, многие приближенные формулы до сих пор не потеряли своего значения и имеют важное методическое и практическое значение.

Поэтому воспользуемся некоторыми приближенными формулами для того, чтобы дать представление о точности построения государственной геодезической сети страны, сопоставить между собой по точности разные методы построения геодезических сетей, а также рассмотреть ряд других важных для производства вопросов.

Ряды триангуляции 1 класса. Такие ряды образуются из звеньев каждое длиной до 200 км. На обоих концах каждого звена измеряются базисные стороны b1, b2и определяются азимуты этих сторон и  (рис. 37). Введем некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем: Si— связующие стороны (общие для смежных треугольников);  — промежуточные стороны треугольников;   и Bi— связующие углы, лежащие против связующих сторон; С — промежуточные углы; L— длина диагонали звена между его конечными пунктами.

Пусть М — средняя квадратическая ошибка определения положения конечного пункта уравненного звена относительно его начального пункта. Ошибку М представим в виде суммы двух составляющих: mL— вдоль звена и mq— перпендикулярно к звену. В этом случае

                                                                                 (5.29)

Ошибку   принято называть продольным сдвигом звена, а ошибку   — поперечным    сдвигом.

Допустим, что звено триангуляции с базисами и азимутами

 Рис. 37. Продольный и поперечный сдвиг звена триангуляции

 

на его концах состоит из равносторонних треугольников и уравнено по направлениям за условия фигур, базисов и азимутов. В таком звене средняя квадратическая ошибка логарифма связующей стороны (в единицах шестого знака логарифма) равна

                                                 (5.30)

 

 

Относительную ошибку найдем по формуле

                                                                  (5.31)

 

Средняя квадратическая ошибка азимута связующей стороны, передаваемого по ходовой линии (показана пунктиром на рис. 37), равна

                                           (5.32)

Продольный и поперечный сдвиги такого звена вычисляют по формулам:

 

                                                    (5.33)

                                   (5.34)

В формулах (5.30) — (5.34): N-— число треугольников в звене; k— номер треугольника, к которому относится оцениваемая сторона; п — число промежуточных сторон в диагонали звена L = nS; m, ,   — средние квадратические ошибки измерения углов, азимутов Лапласа и базисных сторон соответственно. Ошибки логарифмов базисных сторон   и связующих сторон    выражены в единицах шестого знака логарифма.

Вычислим по этим формулам средние квадратические ошибки элементов звена (см. рис. 37), состоящего из равносторонних треугольников: в котором L=176 km, s = 22 km, N= = 16, я = 8, £ = 8, т = 0,7", ть1Ь= 1/400000 или        ед. 6 знака lg;  = 1,1".

Средняя  квадратическая  ошибка  связующей  стороны  в  середине  звена ms, м.............................0,13

Относительная ошибка  ...............................................................................................................1/167 000

Средняя  квадратическая  ошибка азимута средней стороны звена  А(к)…………………………  1,1”

Продольный сдвиг звена  , м     .........................................................................................................0,62

Поперечный сдвиг звена , м      ..........................................................................................................0,76

Общий сдвиг звена М,м    ...........................................................................................0,98

 Рис. 38. Схема сплошной сети триангуляции 2 класса из равносторонних треугольников с измеренными азимутами   и 

 базисными   сторонами

 

Сплошные сети триангуляции. Вопросам оценки точности сплошных сетей триангуляции 2 класса, заполняющих полигоны триангуляции 1 класса размерами 200X200 км, посвящены обстоятельные исследования профессора А. И. Дурнева, профессора К. Л. Проворова, видных деятелей геодезического производства С. Г. Судакова, Д. А. Ларина и др. Наибольшее распространение получили формулы К. Л. Проворова, которыми мы и воспользуемся.

Приведенные ниже формулы (5.35) — (5.39) получены для сплошных сетей триангуляции 2 класса, состоящих из 100— 300 пунктов в каждой (рис. 38), уравненных как свободные по углам за условия фигур, горизонтов, полюсов, дирекционных углов и базисов, причем без учета ошибок исходных азимутов и базисов.

Исследования К. Л. Проворова показали, что между уравненными элементами в сплошной сети триангуляции 2 класса, состоящей из равносторонних треугольников, имеют место следующие простые соотношения

                                                                                                        (5.35)

из которых следует, что относительные ошибки сторон  треугольников равны ошибкам дирекционных углов этих сторон   , выраженным в радианной мере. Это относится и к ошибкам диагоналей L, соединяющим несмежные пункты.

Продольный сдвиг   конца любой диагонали Lотносительно ее начала равен поперечному сдвигу и вычисляется по формуле

                                                                                                    (5.36)

где ошибка mT направления диагонали L равна

                                                                 (5.37)

Здесь т — средняя квадратическая ошибки измерения углов; п — число треугольников в цепочке между конечными точками диагонали L; N — среднее число треугольников между базисными сторонами в сети. При n = N=24 и т=1,0" получим mL = mq = 0,44 м. Формула   (5.37)  справедлива при nN.

В сплошной сети триангуляции с треугольниками произвольной формы (с углами от 30 до 110°), уравненной по углам за все возникающие в ней геометрические условия:

           средняя квадратическая ошибка дирекционного угла стороны в среднем равна

 

                                                                           (5.38)

           средняя квадратическая ошибка логарифма стороны (в 6-ом знаке) будет

 

                                                                         (5.39)

 

где  т — средняя   квадратическая  ошибка   измеренного   угла; среднее число треугольников между базисными сторонами    в сети; параметр tвычисляется по формуле

                                                                                                  (5.40)

или находится по аргументу N (табл. 9).

Формулы (5.36) — (5.39) дают преуменьшенные значения средних квадратических ошибок, поскольку не учитывают влияние ошибок измерения азимутов тА и ошибок измерения базисных сторон учетом этого влияния более точные значения ошибок та и  будут равна

                                                                                              (5.41)        

                                                               (5.42)                                                      

         где та и   вычисляются по формулам (5.38) и (5.39).

                                                         

                                                Таблица   9

 

N

 

t

 

N

 

  t

11

0,138

18

0,043

12

0,117

19

0,036

13

0,100

20

0,031

14

0,084

21

0,026

15

0,072

22

0,022

16

0,060

23

0,018

17

0,051

24

0,016

 

Допустим, что в сплошной сети триангуляции базисные стороны с азимутами Лапласа на их концах размещены в среднем через 24 треугольника ( = 24) горизонтальные углы и азимуты измерены со средними квадратическими ошибками т =  = 1,0"; базисные стороны измерены с ошибками = 1/300 000 или  = l,45. При   = 24 параметр  = 0,016 (см. табл. 9).Используя эти данные, по формулам (5.41) и (5.42) получим:  = 1,0" и —2,1 ед. 6 знака логарифма или ms/s = = 1/200 000, что при длинах сторон треугольников s = 7÷20 км приводит к ошибкам ms = 44÷10 см, т. е. в среднем примерно 6 см. Такая точность построения опорной геодезической сети достаточна для производства топографических съемок вплоть до масштаба   1:2000 и даже более крупного   (см. табл. 4).

 

Частота размещения азимутов. Азимуты Лапласа играют важную роль при создании опорных геодезических сетей: обеспечивают независимую азимутальную ориентировку сторон геодезической сети во всех ее частях, причем с одинаковой высокой точностью; позволяют контролировать результаты угловых измерений по невязкам азимутальных условий, ослабляя при этом влияние систематических ошибок измерений; приводят к возникновению азимутальных условных уравнений при уравнивании сети и тем самым способствуют повышению ее точности.

Рассчитаем предельно допустимое число треугольников , через которое необходимо размещать азимуты Лапласа в триангуляции, чтобы они могли выполнять функцию контроля угловых измерений.

Пусть на концах цепочки треугольников (см. рис. 37) измерены азимуты   и  . Используя промежуточные углы   треугольников, напишем в общем случае

                             

          Перейдя к средним квадратическим ошибкам, получим

                             2а =

где тα  и т — средние квадратические ошибки измерения азимутов и углов соответственно; п — число промежуточных углов, равное числу треугольников между азимутами.

          Пусть заданы предельные значения ошибок: и  .  Тогда при заданном значении средней квадратической ошибки т" измерения углов и  = 2,5, как это принято в геодезии при расчете допусков, найдем

                        

                                                                                                 (5.43)

При тαполучим   =12; при тα = 1,0"и   = 0,7"— = 25.

Звенья триангуляции 1 класса состоят из 12—16 треугольников. В сетях триангуляции 2 класса в соответствии с требованиями инструкции азимуты должны определяться не более чем через 25 треугольников, что вполне согласуется с расчетом по формуле (5.43).

Частота размещения базисных сторон. Базисные стороны в триангуляции, как и азимуты Лапласа, играют важную роль. Они устанавливают единый масштаб построения геодезических сетей на земной поверхности; позволяют контролировать точность передачи длин сторон, ослабляя при этом накопление систематических ошибок измерений; приводят к возникновению базисных условных уравнений при уравнивании геодезической сети и тем самым способствуют повышению ее точности.

В целях обеспечения стройной системы построения государственной геодезической сети азимуты Лапласа принято определять на обоих концах базисных сторон. Поэтому в триангуляции частота размещения базисных сторон такая же, как азимутов Лапласа.

Выгоднейшая форма треугольников. В триангуляции любая сторона треугольника имеет одинаково важное значение, поэтому связующие s и промежуточные с стороны треугольников должны при прочих равных условиях определяться с одинаковой высокой точностью. Это требование может быть записано в виде равенства

                              

При реализации данного требования треугольники в рядах триангуляции получаются равнобедренными с углами С== 52°46' и  = 74°28'.  

Рис.  39.  Схема  цепи  треугольников с «выгоднейшими» углами   

 

Однако такая форма треугольников не пригодна для практики, поскольку в этом случае ряд «вырождается» по мере удаления от исходной базисной стороны (рис. 39). С практической точки зрения наиболее выгодными по форме являются равносторонние треугольники, построение которых, однако, не всегда возможно вследствие особенностей рельефа местности. В рядах триангуляции 1 класса углы в треугольниках должны быть не менее 40°, а в сплошных сетях триангуляции 2 класса — не менее 30°.