Уклонения отвесных линий

Геодезические координаты В, Lи астрономические координаты j λ для одной и той же точки не равны между собой вследствие того, что в каждой точке Земли направление нормали к поверхности эллипсоида и направление отвесной линии не совпадают. Покажем для какой-либо точки М на поверхности Земли отвесную линию Mgи нормаль Мп к поверхности земного эллипсоида (рис.8). Угол и между нормалью к поверхности эллипсоида и отвесной линией в данной точке называют астрономо-геодезическим уклонением отвесной линии в этой точке (от нормали к эллипсоиду). Различают абсолютные и относительные уклонения отвесных линий.

Под абсолютным уклонением отвесной линии в точке М понимают угол и1 между нормалью Мn1к общему земному эллипсоиду и направлением отвесной линии Mgв данной точке М. Величины абсолютных уклонений отвесных линий зависят главным образом от особенностей распределения масс в теле Земли и, в первую очередь, в земной коре. Поэтому определение абсолютных уклонений отвесных линий имеет важное значение для изучения внутреннего строения Земли и обнаружения аномальных масс в земной коре.

Относительный уклонением отвесной линии в точке М называется угол и2 между нормалью Мп2 к поверхности референц-эллипсоида и отвесной линией Mgв данной точке М. Величины относительных уклонений отвесных линий обусловлены особенностями распределения масс в теле Земли, погрешностями размеров принятого референц-эллипсоида, погрешностями ориентирования референц-эллипсоида в теле Земли. В общем случае относительные уклонения отвесных линий по величине больше абсолютных.

 

 

               Рис. 8. Абсолютные и относительные уклонения отвесных линий:

1 — физическая поверхность Земли; 2 — общий земной    эллипсоид;    3 — референц-эллипсоид

 

 

                                 

 Рис. 9. Составляющие полного уклонения отвесной линии

в плоскости меридиана и первого вертикала

 

При решении геодезических задач величину полного уклонения отвесной линии и (рис. 9) в каждой данной точке М представляют в виде двух составляющих:ξ  в плоскости меридиана МР данной точки и η в плоскости МС первого вертикала, перпендикулярной к плоскости меридиана. При известных значениях ξ и η  полное уклонение отвесной линии вычисляют по формуле

                                                       (2.1)

Азимут 6 плоскости, в которой лежит полное уклонение отвесной линии, находят следующим образом

                                                     (2.2)

Составляющие ξ и η   уклонения отвесной линии в какой-либо точке М, лежащей на поверхности Земли или земного эллипсоида можно определить, если для этой точки известны одновременно и геодезические В, Lи астрономические j, λ,  координаты. Пусть точка М лежит на поверхности референц-эллипсоида (рис. 10). Обозначим Мп нормаль к эллипсоиду, aMg – отвесную линию в этой точке.

 

 

Рис. 10. Взаимосвязь геодезических и

астрономических координат и азимутов

 

Построим вспомогательную сферу единичного радиуса с центром в точке М. Продолжим нормаль Мп до пересечения с вспомогательной сферой в точке Z — геодезическом зените точки М. Отвесную линию Mgпродолжим до пересечения со сферой в точке Z1, — астрономическом зените точки М. Через точку М проведем линию, параллельную оси вращения Земли, точку пересечения ее со сферой обозначим Р (полюс Мира); точку Z1соединим дугами большого круга с точками Z и Р. В треугольнике ZPZ1дуга PZ1равна астрономическому полярному расстоянию точки М, т. е. PZ1 = 90°— j; дуга PZпредставляет собой геодезическое полярное расстояние точки М, т. е. PZ = 90°В; сторона ZZ1— полное уклонение отвесной линии в точке М, т. е. ZZ1 = u. Угол  равен геодезическому азимуту плоскости MZZUв которой лежит полное уклонение отвесной линии. Спроектируем полное уклонение отвесной линии и на плоскость геодезического меридиана MZPточки М и на плоскость первого вертикала MZ1Z2. Дуги ξ = ZZ2и h = Z1Z2 являются составляющими полного уклонения отвесной линии в меридиане и первом вертикале точки М. Дуга Z1P = = 90°—j, где j — астрономическая широта точки М, а дуга Z2P= 90°—5—g; угол Z2PZXпри полюсе мира Р равен разности астрономической и геодезической долготы точки М, т. е. Z2PZ1=λ—L.

Решив сферический треугольник Z1Z2P, напишем

;         

Разложив тригонометрические функции от h и λLв ряды и ограничиваясь первыми членами разложения, получим

                                                   (2.3)

Отсюда, заменив с достаточной точностью cosj, на cosВ, окончательно найдем

ξ =Ф— В;    η= (l—L)cosB.                                                 (2.4)

В том случае, когда составляющие уклонений отвесных линий определяют из обработки только гравиметрических измерений, их называют гравиметрическими и обозначают гр. Связь между астрономо-геодезическими уклонениями отвеса (2.4), которые обозначим через аг.  и гравиметрическими уклонениями отвеса устанавливается формулами:

       = +0,171 Н sin2b=j-B;        hаг=  hгр =(λ-L) cosB                   (2.5)

где Н — высота точки над эллипсоидом, км.

Следует отметить, что астрономо-геодезические уклонения отвесных линий вычисляются в системе принятого референц-эллипсоида, а гравиметрические уклонения — в системе уровенного эллипсоида. Поэтому значения тех и других уклонений отвесных линий для одних и тех же точек земной поверхности не равны между собой.

Наибольшие отклонения поверхности геоида (квазигеоида) от поверхности общего земного эллипсоида не превышают 120 м, т. е. они сравнительно малы, поэтому сравнительно малы и абсолютные уклонения отвесных линий. В равнинной местности уклонения отвесных линий составляют в среднем 3—5"; иногда они достигают 10—15", как например, в районе Московской гравитационной аттракции; в горных районах, например, в горах Кавказа, в районе озера Байкал уклонения отвесных линий значительно больше и достигают нередко 30". Самые большие уклонения отвесных линий на земном шаре обнаружены в районе Гавайских островов (»97").

Относительные уклонения отвесных линий несколько больше абсолютных вследствие дополнительного влияния на последние ошибок определения параметров референц-эллипсоида и погрешностей ориентирования его в теле Земли.

Уклонения отвесных линий на пунктах государственной геодезической сети необходимо знать для решения многих задач высшей геодезии, в том числе таких как:

определение формы и размеров земного эллипсоида из градусных измерений, выполняемых методом триангуляции; определение высот квазигеоида и высот земной поверхности относительно поверхности принятого референц-эллипсоида; установление связей между различными системами координат: астрономическими, геодезическими, прямоугольными геоцентрическими и другими, применяемыми в геодезии, картографии, астрономии, космонавтике и ряде других наук; математически строгое редуцирование измеренных линий (базисов), азимутов, горизонтальных направлений и т. п. с физической поверхности Земли на поверхность референц-эллипсоида, а следовательно, корректное выполнение обработки измерений в геодезических сетях, а также математически строгое решение разнообразных задач на поверхности эллипсоида и в пространстве; повышение точности тригонометрического нивелирования, особенно в горных районах и т. п.